Frekvens = hvor mange ganger et tall forekommer i datasettet.
Kumulativ frekvens = løpende sum av frekvensene.
Variasjonsbredde = største tall minus minste tall. Forteller hvor "spredt" datasettet er.
Variasjonsbredde = maks − min
Eksempel — variasjonsbredde
Finn variasjonsbredden i 4, 7, 12, 5, 9.
1
Største tall: 12
2
Minste tall: 4
3
Variasjonsbredde: 12 − 4 = 8
Svar: 8
Eksempel — frekvenstabell
I en klasse har 5 elever fått karakter 3, 8 elever karakter 4, og 7 elever karakter 5. Hvor mange elever er det totalt?
1
Legg sammen frekvensene: 5 + 8 + 7 = 20
Svar: 20 elever
Oppgave 4.1
Finn variasjonsbredden i tallene 3, 8, 12, 5, 15, 6.
Steg for steg
1
Størst: 15, Minst: 3
2
Differansen: 15 − 3 = 12
Svar: 12
Oppgave 4.2
En frekvenstabell viser at 12 elever fikk 2-er, 18 fikk 3-er, 25 fikk 4-er, og 5 fikk 5-er. Hvor mange elever totalt?
Steg for steg
1
Legg sammen alle frekvensene: 12 + 18 + 25 + 5 = 60
Svar: 60 elever
05
Likninger
Eksamen ★
En likning er som en vekt. Det du gjør på den ene siden, må du gjøre på den andre.
Mål: Få x alene på den ene siden.
Rekkefølge: 1) Fjern parenteser. 2) Samle x på én side. 3) Del på koeffisienten foran x.
Eksempel — enkel likning
Løs 2x + 7 = 15
1
Trekk fra 7 på begge sider: 2x = 8
2
Del på 2: x = 4
3
Sjekk: 2 · 4 + 7 = 15 ✓
Svar: x = 4
Eksempel — med parentes
Løs 3(x − 2) = 12
1
Multipliser ut: 3x − 6 = 12
2
Legg til 6: 3x = 18
3
Del på 3: x = 6
Svar: x = 6
Oppgave 5.1
Løs 3x + 5 = 20
Steg for steg
1
Trekk fra 5: 3x = 15
2
Del på 3: x = 5
Svar: x = 5
Oppgave 5.2
Løs 2x − 7 = 9
Steg for steg
1
Legg til 7: 2x = 16
2
Del på 2: x = 8
Svar: x = 8
Oppgave 5.3
Løs 4(x + 2) = 20
Steg for steg
1
Del på 4: x + 2 = 5
2
Trekk fra 2: x = 3
Svar: x = 3
06
Rette linjer og lineære funksjoner
Eksamen ★★
En lineær funksjon har formen:
y = ax + b
a = stigningstall (hvor mye y øker per x)
b = konstantleddet (der grafen krysser y-aksen)
Finne stigningstall mellom to punkter:
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Eksempel 1 — regn ut funksjonsverdi
f(x) = 2x + 3. Hva er f(5)?
1
Sett inn 5 for x: f(5) = 2 · 5 + 3
2
Regn ut: 10 + 3 = 13
Svar: f(5) = 13
Eksempel 2 — finne stigningstall mellom to punkter
En linje går gjennom (1, 4) og (3, 10). Hva er stigningstallet?
1
Sett opp: a = (10 − 4) / (3 − 1)
2
Regn ut: a = 6 / 2 = 3
Svar: a = 3
Oppgave 6.1
f(x) = 2x + 3. Hva er f(5)?
Steg for steg
1
Sett inn 5: f(5) = 2 · 5 + 3
2
Regn ut: 10 + 3 = 13
Svar: 13
Oppgave 6.2
For linjen y = 3x − 1, hva er konstantleddet?
Steg for steg
1
Linjen har form y = ax + b. Her er a = 3 og b = −1
2
Konstantleddet er b = −1
Svar: −1
Oppgave 6.3
En linje går gjennom punktene (0, 2) og (3, 11). Hva er stigningstallet?
Steg for steg
1
Formel: a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
2
Sett inn: (11 − 2) / (3 − 0) = 9 / 3 = 3
Svar: a = 3
07
Eksponentialfunksjoner
Eksamen ★
Brukes til å beskrive vekst (befolkning, penger med renter) og nedgang (radioaktivt forfall, halvering).
y = a · bx
a = startverdi (det du starter med ved x = 0)
b = vekstfaktor (over 1 = vekst, under 1 = nedgang)
x = tid (f.eks. antall år)
Eksempel — eksponentiell vekst
Et beløp på 1 000 kr vokser med 10 % i året. Hvor mye er det etter 2 år?
1
Vekstfaktor: 1,10
2
Etter 2 år: 1 000 · 1,10² = 1 000 · 1,21 = 1 210
Svar: 1 210 kr
Oppgave 7.1
Et beløp på 1 000 kr vokser med 10 % hvert år. Hvor mye etter 2 år?
Steg for steg
1
Vekstfaktor: 1,10
2
Etter 2 år: 1 000 · 1,10² = 1 210
Svar: 1 210 kr
Oppgave 7.2
Hva er vekstfaktoren for en 8 % reduksjon?
Steg for steg
1
Reduksjon: trekk prosentdesimalen fra 1
2
Vekstfaktor: 1 − 0,08 = 0,92
Svar: 0,92
08
Regresjon
Del 2 ★
Regresjon brukes til å finne en funksjon (en "modell") som passer best til et datasett. Brukes på Del 2 av eksamen med digitale verktøy (GeoGebra eller Excel).
De vanligste typene:
Lineær: y = ax + b — når data følger en rett linje
Eksponentiell: y = a · bx — når data vokser/synker prosentvis
Polynom (2.grad): y = ax² + bx + c — når data lager en bue
Korrelasjonskoeffisient r sier hvor godt modellen passer. Jo nærmere ±1, jo bedre passer den. Over 0,9 regnes som svært god.
Eksempel — slik gjør du regresjon i GeoGebra
Innbyggertall i en kommune: 2010 → 5 000, 2015 → 5 800, 2020 → 6 700, 2025 → 7 700. Lag en modell.
1
Skriv tallparene inn i regnearket i GeoGebra (år som x, innbyggere som y)
2
Marker tallene, høyreklikk → "Lag liste av punkter"
3
Skriv i kommandolinjen: RegEksp(liste1) for eksponentiell, eller RegPoly(liste1, 1) for lineær
4
GeoGebra gir deg funksjonen, f.eks. f(x) = 5 000 · 1,029x
Tips: Tegn både datapunktene og funksjonen i samme graf for å sjekke at den passer.
Tips på eksamen: Du må vise hvordan du har brukt verktøyet (skjermbilde av GeoGebra eller regneark), og forklare hva tallene betyr i sammenhengen. Ikke bare lim inn — kommenter resultatet.
09
Sannsynlighet
Eksamen ★
Sannsynlighet er et tall mellom 0 og 1.
P(A) = gunstige utfall / mulige utfall
Eksempel: Terning, P(seks) = 1/6 ≈ 0,167.
Addisjonsregel (eller-regel): P(A eller B) = P(A) + P(B) — når A og B ikke kan skje samtidig.
Multiplikasjonsregel (og-regel): P(A og B) = P(A) · P(B) — når A og B er uavhengige.
Eksempel — enkel sannsynlighet
En pose har 4 røde og 6 blå kuler. Sannsynligheten for å trekke en rød?
1
Gunstige: 4 røde
2
Mulige: 10 totalt
3
P(rød) = 4/10 = 0,4
Svar: 0,4 (eller 40 %)
Eksempel — to uavhengige hendelser
Kaster en mynt to ganger. P(begge kron)?
1
P(kron) på én kast = 0,5
2
Multiplikasjonsregel: 0,5 · 0,5 = 0,25
Svar: 0,25 (eller 25 %)
Oppgave 9.1
En pose har 3 røde og 7 blå kuler. Hva er sannsynligheten for å trekke en rød? (Som desimaltall)
Steg for steg
1
Gunstige: 3, mulige: 10
2
P(rød) = 3/10 = 0,3
Svar: 0,3
Oppgave 9.2
Kaster en mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for å få kron begge ganger? (Som desimaltall)
Steg for steg
1
P(kron) per kast: 0,5
2
Multiplikasjonsregel: 0,5 · 0,5 = 0,25
Svar: 0,25
Oppgave 9.3
Trekker et kort fra en kortstokk på 52 kort. Hva er sannsynligheten for å trekke en hjerter? (Som desimaltall)
Steg for steg
1
Det er 13 hjerter av 52 kort
2
P(hjerter) = 13/52 = 0,25
Svar: 0,25
10
Målestokk og formlikhet
Eksamen
Målestokk1 : 50 000 betyr at 1 cm på kartet = 50 000 cm i virkeligheten.
Fra kart til virkelighet: Gang lengden på kartet med tallet etter kolon.
Omregning: 100 000 cm = 1 km
Formlikhet: To figurer er formlike når den ene er en forstørrelse av den andre. Forholdet mellom tilsvarende sider er likt — det er forholdstallet.
Eksempel — målestokk
På et kart med målestokk 1 : 50 000 er to byer 4 cm fra hverandre. Hvor langt i virkeligheten?
1
Gang med 50 000: 4 · 50 000 = 200 000 cm
2
Gjør om til km: 200 000 / 100 000 = 2 km
Svar: 2 km
Eksempel — formlikhet
To trekanter er formlike. Sidene i den minste er 3, 4, 5. Den lengste siden i den største er 15. Hva er forholdstallet?
1
Sammenlign tilsvarende sider: 15 / 5 = 3
2
Den store trekanten er 3 ganger så stor
Svar: Forholdstallet er 3
Oppgave 10.1
På et kart med målestokk 1 : 25 000 er en vei 8 cm. Hvor lang er veien i virkeligheten? (Svar i km)
Steg for steg
1
Gang: 8 · 25 000 = 200 000 cm
2
Til km: 200 000 / 100 000 = 2 km
Svar: 2 km
Oppgave 10.2
To trekanter er formlike. Den minste har sider 3, 4, 5 cm. Den største har korteste side 9 cm. Hva er forholdstallet?
Steg for steg
1
Sammenlign korteste sider: 9 / 3 = 3
Svar: 3
Bra jobba!
Du har klart alle oppgavene og dekket hele 2P-pensum. Gjør gjerne runden igjen om noen dager for repetisjon.